Funciones Derivables

Se dice que una función f(x) es derivable en el punto x, si f (a) existe. Asimismo la función es derivable
en el intervalo abierto (a, b) si es derivable en cualquier punto del intervalo.

Si la función es derivable en un punto x1, entonces la función es continua en x1. Sin embargo, si la función es continua no necesariamente es derivable.

Puede ocurrir que la función sea continua pero si en un punto x1 los límites laterales son diferentes,
entonces no es derivable; esto se presenta en puntos que forman "picos" en la gráfica.

O bien, si la curva de la funcion continua, presenta una recta tangente vertical en punto x1.

Tmpoco son derivables en un punto x1, si ese punto se presenta una sicontinuidad.

Interpretación geométrica de la derivada

Sea una función f(x). Si se toma un punto cualquiera P1(x, y) y se tiene un incremento en x, delta x, se obtiene
un respectivo incremento en y, deltay, en el punto P2[(x + deltax), (y + deltay)l, y la razón deltay/deltax representa
la pendiente de la línea que contiene a los dos puntos, P1, P2•
Si se deja fijo el primer punto, P1, y el incremento en x, esto es deltax, se hace cada vez más pequeño,
entonces el segundo punto, P2, se irá acercando al primer punto, P1. Cada vez que se reduzca el valor
de deltax, la recta girará en torno al primer punto P1, ya que está fijo, hasta que llegue a su posición
límite que es la tangente a la curva en el punto P1, tal como se muestra en la siguiente figura.

Capítulo 3 Reglas básicas de derivación

1. Para una constante “a”:Si f(x) = a, su derivada es f'(x) = O
*Ejemplo:

Si f(x) = 25, su derivada es f'(x) = O

2. Para la función identidad f(x) = x.

Si f(x) = x, su derivada es f'(x) = 1
*Ejemplo:

Si f(x) = x, su derivada es f'(x) = 1
3. Para una constante “a” por una variable “x”:
Si f(x) = ax, su derivada es f'(x) = a*Ejemplo:

Si f(x) = 3x, su derivada es f'(x) = 3

4. Para una variable “x” elevada a una potencia “n”:
Si f(x) = xn, su derivada es f'(x) = nxn-1
*Ejemplo:Si f(x) = x5, su derivada es f'(x) = 5x4

5. Para una constante “a” por una variable “x“ elevada a una potencia “n”:
Si f(x) = axn, su derivada es f'(x) = anxn- 1
*Ejemplo:

Si f(x) = 3x2, su derivada es f'(x) = 6x
6. Para una suma de funciones:Si f(x) = 3x2 + 4x, su derivada es f´(x) = u´(x) + v´(x)
*Ejemplo:
Si f(x) = 5x2 + 9x, su derivada es f´(x) = 10x + 9

En ocasiones no es fácil transformar una función a la forma f(x) = axn, por lo que en estos casos no podrías encontrar la derivada siguiendo la regla mencionada anteriormente. Cuando ocurra esto puedes emplear otras reglas de la derivación entre las cuales están las siguientes. Sin embargo se debe aclarar que no son las únicas reglas, existen otras más que verás en tus cursos posteriores de cálculo.

7. Regla de producto.
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios, como por ejemplo: f(x) = (2X3 + 3)(3x4 - 5); la regla de producto es:

Si “u” y “v” son los polinomios:La función: f(x) = uv

Su derivada: f´(x) = u´v + uv´*Ejemplo:

¿Cuál es la derivada de f(x) = (5x2 + 9)(2x5 - 4)?
Solución:
f(x) = (5x2 + 9)(2x5 - 4)

f´(x) = (10x)(2x5 - 4) + (5x2 + 9)(10x4)

8. Regla de cociente.Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como por ejemplo: f(x) = ; la regla de cociente es:
Si “u” y “v” son los polinomios:
La función: f(x) =

Su derivada: f'(x) =

*Ejemplo:
¿Cuál es la derivada de f(x) = ?

Solución:f(x) =

f´(x) =

9. Regla de cadena.
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia, como por ejemplo: f(x) = (2x3 + 3)5; la regla de cadena es:
Si “u” es el polinomio:
La función: f(x) = un
Su derivada: f´(x) =n(u)n-1 (u´)
*Ejemplo:
¿Cuál es la derivada de f(x) = (2x4 + 6)3?
f(x) = (2x4 + 3)3
f(x) = 3(8x3)(2x4+3)2f(x) = 24x3(2x4+3)2


Nota: Si a la informacion aqui publicada esta incompleta o no es la indicada por usted Profesora Iliana Anaya ruego me lo haga saber; en forma de un comentario, en la entrada correspondiente, o en un e-mail al correo aalexx-in@hotmail.com o aalexxin@gmail.com, así como cualquier sugerencia o queja.

La Derivada aportaciones

LgrangeJoseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia.

El mayor número de sus artículos de álgebra los envió a la Academia de Berlín. Cabe destacar:

• Su discusión de la solución enteras de las formas cuadráticas, 1769, y generalmente de ecuaciones indeterminadas, 1770.
• Su tratado de la teoría de eliminación de parámetros, 1770.
• Sus papeles en el proceso general por resolver una ecuación algebraica de cualquier grado, 1770 y 1771; este método falla para las ecuaciones de un orden superior al cuarto, porque involucra la solución de una ecuación de orden superior, pero da todas las soluciones de sus predecesores.
• La solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado, esta ocupa el último lugar en los papeles mencionados.
• Por último, en 1773, su tratamiento de determinantes de segundo y tercer orden, y de sus invariantes.

Cauchy

Augustin Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857) matemático francés.

Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.

Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente. Cauchy consideraba que las funciones en 3 dimensiones que eran derivables eran continuas sin embargo se descubrió que era necesaria una condición de diferenciabilidad para asegurar la continuidad.


Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz^[1] (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán. Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También descubrió el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales.

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular.^[9] En el siglo XVIII, el concepto de "función" perdió estas asociaciones meramente geométricas.

Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como "Eliminación Gaussiana". Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra Booleana y la lógica simbólica.

Nota: Si a la informacion aqui publicada esta incompleta o no es la indicada por usted Profesora Iliana Anaya ruego me lo haga saber; en forma de un comentario, en la entrada correspondiente, o en un e-mail al correo aalexx-in@hotmail.com o aalexxin@gmail.com, así como cualquier sugerencia o queja.